MCM 2006 A题:灌溉喷洒系统的布置与移动

目前有很多种田间灌溉的技术,从先进的滴灌系统到周期性的漫灌等各种技术。用于较小农场的技术之一就是使用“手动”灌溉系统,带有喷头的轻质铝管放置在田间, 定时用手移动它们以确保所有农田都能够得到充足的水。这种灌溉系统比其他系统更加便宜, 更加容易管理、维护,它们的使用非常灵活,可用于各种农田和农作物的灌溉。其缺点是,每过一段时间, 就要花费很多时间和精力来移动和安装设备。

考虑到要使用这种灌溉系统, 怎样安装才能用最少的时间去灌溉一片 80m×30m 的农田? 为完成这项任务, 请求你们去寻求一种确定怎样灌溉这块矩形农田使得农场主管理、维护该灌溉系统所需要的时间最少。这块农田上将使用一套管组,你们需要确定喷头的数量以及喷头之间的距离, 同时还要给出一个移动管道, 包括需要把管道移动到什么位置的工作进度表。

一套管组由若干互相连接成直线形的管子组成,每根管子的内壁直径为 10cm,并带有一个内壁直径 0.6cm的可旋转喷嘴。把管子连接在一起, 其总长为 20 米长。水源处的压力为 420 千帕 (Kilo-Pascal), 流率为每分钟 150 升。农田任何部分接受的水量不得超过每小时 0.75cm, 同时农田的每个部分每 4 天至少要接受 2cm 的水量,尽可能均匀地使用洒水的总量。

MCM 2006 B题:在机场使用轮椅的问题

乘飞机旅行令人头疼的事情之一就是需要在多个机场转机,而且每到一个机场通常都要求旅客去转乘另外一架飞机。对那些行动有困难的旅客而言,从一个候机区走到另外一个候机区就特别困难了。解决办法之一是航空公司为请求帮助的这些旅客提供轮椅和陪同人员, 使得中转更加方便。通常都能预先知道那些乘客要求帮助,但也常有旅客宁愿在到机场登记时才请求帮助。在很罕见的情形, 知道飞机就要降落前,航空公司可能还没有接到需要帮助的旅客的请求。

航空公司面临着降低成本的持续的压力。轮椅会磨损、昂贵而且还需要管理和维护,提供陪同人员也需要费用。另外, 为给需要帮助的旅客在他们的航班到达机场时能及时提供帮助, 轮椅和陪同人员还要不断在机场移动。在一些大机场, 人员和设备在机场内部移动所花费的时间也是不容忽视的。轮椅还需要有存放的地方,但是机场候机大厅场地的租费昂贵而且极其有限。还有,把轮椅留在客流繁忙的通道, 当过往旅客试图绕过轮椅时也会妨碍行人通过。最后,最大的代价之一就是, 如果某位旅客必须等候陪同人员的到来而导致飞机等他而延误航班的代价。这种代价特别令人烦恼,因为它有可能影响到航空公司的平均航班延误时间,其后果是有些潜在乘客会因此而避开这个公司的航班,造成该航空公司机票销售的减少。

Epsilon 航空公司决定请求第三方帮助他们就为旅客提供轮椅和陪同人员服务的管理和维护中的各种问题和成本进行详细的分析。这家公司希望得到一个讲求成本效益的每天的轮椅调度方法,并找出和定义短期和长期的预算规划所需的各种成本。

Epsilon 航空公司要求你们的咨询小组汇集你们的分析形成一个投标以帮助该航空公司解决他们的问题。你们的投标书应该包括对实际情况的概述和分析, 以便这家航空公司能够确定你们是否已经完全了解他们的问题。他们需要你们提供将要执行的算法的详细叙述,该算法能确定轮椅和陪同人员应该安置在那里,以及每天应该怎样移动。目标是使总的成本尽可能低. 你们的投标书是 Epsilon 航空公司将会考虑的许多投标书之一。你们必须提供一个强有力的案例,以说明为什么你们的解决方案是最佳的,而且能够处理各种环境下的各种机场的问题。

你们的投标书还应该包括该算法如何处理大型 (至少 4 个候机大厅)、中型 (至少 2 个候机大厅) 和小型 (1 个候机大厅) 机场在客流高峰和低谷时段的各种例子。你们应该确定所有潜在的成本并权衡它们各自的权重。最后,因为老年旅客在旅客总数中开始占有更大的比重,因为他们有较多的时间外出旅行, 但也可能提出更多的帮助要求, 所以你的报告还应该包括对未来潜在成本和乘客需求的规划, 以及怎样满足未来需求的建议。

ICM 2006 C题:HIV/ADIS 问题

从 HIV/AIDS 开始大范围流行至今已经 25 年了,这种疾病导致的感染人数和死亡人数不断攀升。人们在抗击 HIV/ADIS 方面付出了巨大的努力,也取得了一定的成果,但目前国际社会对于如何有效地配置各种资源以实现更有效防控 HIV/ADIS 相关方面的研究仍然欠缺。

如果你们是联合国的一个专家组,请就怎样管理可利用的资源来防控 HIV/AIDS 问题,向联合国提出合理的建议。你们需要对目前引起大家关注的几种 HIV/ADIS 防控方案进行建模,并用你们的模型就资金分配问题给出合理建议。

问题 (1):从每个大洲 (非洲、亚洲、欧洲、北美洲、澳洲和南美洲) 中,各选择一个你们认为 HIV/AIDS 流行程度最严重的国家。建立数学模型粗略估计这些国家在没有任何有效干预措施时,2006~2050 年 HIV/AIDS 感染人数的变化规律。在模型中,要详细地叙述你们的模型并准确给出你们模型的基础假设。另外,解释一下你们选择这些国家的原因。

问题附件中的电子表格提供了 WHO (世界卫生组织) 成员国家在相关领域直到 2003 年的数据,你们的模型中可能要用到这些数据。

数据文件: list_WHO_member_states.xls,给出了 WHO 成员国家列表。

数据文件: hiv_aids_data.xls,给出了 HIV/ADIS 相关数据表。

(1) Global HIV-AIDS cases, 1999,全球 HIV/ADIS 病例汇总 (1999 年)。该数据来自 UNAIDS (联合国 HIV/AIDS 项目研究组),给出了到 1999 年底,由各个国家提供的 0 到 49 岁 HIV 检验为阳性的大致人数。

(2) HIV-AIDS in Africa over time,非洲 HIV/ADIS 流行情况。该数据来自美国政府, 该表格给出了非洲一些城市育龄妇女零碎的艾滋病发病率时间序列统计数据。 (3) HIV-AIDS subtypes,HIV/ADIS 亚型表格。该数据来自 UNAIDS,表中按国家划分,给出了 HIV-1 子类型的地理分布。

附件还提供了这些国家的人口统计学数据。这些数据都来自于联合国,包括了世界主要地区和国家在 1995~2050 年的人口统计数据,其中 1995~2005 年的数据为统计估计数据,2006~2050 年的数据为按照中等生育率假设下的预测数据。

相关的数据文件如下:

(1) fertility_data.xls,给出了生育率数据,指特定年龄的妇女的生育率(每千名妇女生育子女的数目)。

(2) population_data.xls,给出了人口统计表(分性别统计,单位:千人)。 (3) age_data.xls,给出了年龄分布统计数据,每隔5年划分一个年龄组,统计各个年龄组的人数。

(4) birth_rate_data.xls,给出了出生率统计数据,单位:出生人数/千人*年。

(5) life_expectancy_0_data.xls,给出了人均寿命统计数据,单位:年。 HIV/AIDS 防控专款主要以两种方式介入 HIV/ADIS 防控—预防介入和治疗介入。预防介入主要包括:健康咨询、HIV 检测服务、避孕套推广、以学校为基础的艾滋病教育、防止母-婴传染的药物等。治疗介入包括:治疗其它性传染病、控制高致病感染等。 你们工作要集中于两种最主要的介入方式:提供抗逆转录酶病毒 (Antiretroviral: ARV) 药物治疗和提供 HIV/AIDS 预防疫苗。

问题(2):落后国家难以承担本国的 ADIS 防控资金,在 UNADIS 的倡导下,发达国家建立了多项 ADIS 国际援助项目,用于帮助和支持落后国家开展 ADIS 防控工作。

对你们在问题(1) 中选择的国家,估计这些国家在 2006~2050 年期间期望得到多少国际援助资金用于 ADIS 防控。

用问题(1)中所建立的模型和这些资金数据,在以下三种控制方案下,分别估计所选定国家在 2006~2050 年 HIV/ADIS 感染人数预期的变化率。

(1) ARV 药物治疗;

(2) 预防性 HIV/AIDS 疫苗;

(3) 同时采用 ARV 治疗和预防性 HIV/AIDS 疫苗。

假设上述三种方案都不会有产生 HIV 抗药菌株的风险(问题 3 中需要考察该问题).务必详细、准确地叙述你们模型的基础假设。

你们可以考虑是否这些方案适用于所有的国家,或者综合考虑国家的国民收入水平和医疗负担判断这些方案是否适用。附件中提供了有关各国收入水平的表格,或许可以为你的模型所用。

数据文件: income_data.xls,给出了世界国民收入表。

该数据来自世界银行 (2002),表中给出各地区国民人均生产总值 (GNP) 以及全球的收入分布。你们可以自由地使用这些数据到你们的模型中。

ARV 药物治疗可以延长 HIV/AIDS 感染者的生命,给 HIV/ADIS 感染者带来极大的福音。在发达国家,ARV 药物使用率很高,延长了大量的 HIV/AIDS 感染者的生命。有关部门和国际组织正面临着巨大的压力,他们一直致力于如何拓展落后国家的 HIV/AIDS 感染者获得 ARV 药物的渠道。经济落后国家的卫生保健预算非常有限,这些国家不大可能仅仅依靠自己对大多数 HIV/ADIS 感染者开展这些防治计划。附件 1 的数据来自 UNAIDS,这些数据给出了当前正在使用 ARV 药物治疗的国家的相关数据。

ARV 的疗效,在很大程度上依赖于感染者能否严格坚持治疗,并且定期观察疗效。 一种公认有效的 ARV 治疗条件是:一份能够提供全面咨询和医生护理的治疗计划、定期的检查以观察病情的发展和条件感染人群的发病情况。间断的治疗或者不恰当的治疗方法会导致两方面的严重后果:一是可能没有治疗效果;二是可能会直接导致产生 HIV 抗药性菌株。

ARV 药物的制药厂商一直在努力降低制药成本从而降低药物价格,虽然用于治疗 HIV/ADIS 早期感染的药物价格已经降到每个病人每年几百美元,但如何分发这些药物,并提供必要的辅助医疗保健措施以及进一步的治疗,是考验政府的行政和财政能力的关键。经过比较,直接观察短疗程治疗方案产生抗药菌株的可能性最小,采用该方法的 ARV 药物成本可以控制在每人每年不超过 1100 美元。

针对预防性 HIV 疫苗问题,请对以下参数给出你们认为合理的估计,除了这些情况以外,还可以考虑其他的情况。

(1) 预防性 HIV/AIDS 疫苗可以投入实用的时间;

(2) 疫苗接种普及速度:

如果你们希望使新生幼儿得到免疫,那么假设国家的新生幼儿 HIV/ADIS 疫苗的稳定接种水平和 WHO(2002) 报告的 DTP3 (白喉-百日咳-破伤风疫苗第三剂)的接种率相同。 数据文件:vaccination_rate_data.xls,给出了新生幼儿疫苗接种率数据。 如果你们希望使成人 (5 岁以上的人群)得到免疫, 那么假设这部分人群 HIV/ADIS 疫苗的稳定接种水平与 WHO(2002) 报告的 TT2(破伤风类毒素第二剂)的免疫率相同。 数据文件: vaccination_rate_data.xls,给出了成人疫苗接种率数据。

(3) 疫苗的功效及其有效期;

(4) 是否存在来自疫苗接种的流行病学的外部偶然因素;

(5) 假设疫苗是三剂的 (three-dose),而且可以放进疫苗的标准封装,随 WHO 的免疫扩展计划 (EPI) 一起,以额外 0.75 美元的增加成本发放。

问题(3):在如下关于 ARV 抗药性菌株的假设前提下, 重新阐明你们在问题(2) 中建立的三个模型。

当前的研究表明, 采用 ARV 治疗的病人的坚持程度低于 90%-95% 的话, 有产生抗药性菌株的“巨大风险”。在你们的分析中可以采用假设:接受 ARV 治疗的病人的坚持程度低于 90%, 就有 5% 的可能性产生抗药性。

人们也可以使用二线和三线药物治疗。但在你们的模型中应假设,除欧洲、日本和美国以外的国家要使用这些药物将会因为过于昂贵而无法负担。

问题(4):向联合国相关部门写一份建议书,就如下几个方面给出你们的建议:

(1) 就在抗击 HIV/AIDS 中 ARV 药物的供应和预防 HIV 疫苗的资源分配问题提出合理建议;

(2) 相对于其他外交政策而言,应该赋予 HIV/ADIS 防控政策哪些优先权?

(3) 针对如何合理配置 HIV/AIDS 的国际援助资金问题给出建议。

对于第 (1) 个方面,假设从现在起到 2010 年期间,可利用的财政资源将专门划拨相关经费,用以加速预防性 HIV 疫苗的研制工作—或直接资助疫苗的研发,或通过其他的机制来实现这个目的。这种投入的回报都将促进问题 (2) 中疫苗研制成功日期的提前。

解题方法和分析见《美国大学生数学建模竞赛题解析与研究 第2辑》