MCM 2007 A题:不公正的选区划分

美国宪法规定众议院由一定数目的众议员 (目前是 435 人) 组成,他们是由各州按照该州人口占全国总人口的百分比选出来的。尽管这种规定提供了确定每个州有多少众议员的方法,但是一点也没有说及有关一个特定的众议员所代表的选区应该怎样按地区决定的问题。这种疏忽已经导致了按某种标准看来是违反常情的很不好的 (至少某些人认为通常是不必这样做的) 选区安排。因此就向你们提出了以下的问题:假设你们有机会去制定一个州的众议院的选区。你们会怎样把它作为一种纯“基础性”的练习来创建一个州的所有选区的“最简单”的划分。这些划分规则中至少要包含一条:该州的每个选区必须有同样的人口。“简单”的定义要由你们来下;但是你们必须就你们的解决方法是公正的做出一个能够使该州选民信服的论证。作为你们的方法的应用,试创建纽约州的按地域来说是简单的选区划分。

MCM 2007 B题:飞机就座问题

航空公司允许引领候机乘客以任何次序就座。已经成为惯例的是首先引领有特殊需要的乘客就座,然后是头等舱的乘客就座 (他们坐在飞机的前部)。然后引领持经济舱和商务舱机票的乘客从飞机后排开始向前按照排结组就座。

从航空公司的角度来看,除了考虑乘客的等候时间外,时间就是金钱,所以登机时间最好要减到最少。飞机只有在飞行的时候才能为航空公司赚钱,而长的登机时间限制了一架飞机一天中可以飞行的次数。

诸如Airbus A380 (空中客车 A380,可以容纳 800 名乘客) 的大型机的发展就更要强调缩短登机 (以及下机) 时间的问题了。

就乘客人数不同的飞机:小型机 (85-210),中型机 (210-330) 和 大型机 (450-800),设计登机和下机时间的步骤并进行比较。

准备一份不超过两页纸 (不空行打印) 的实施概要,以便向航空公司业务主管、登机口执法人员以及空 (地) 勤人员阐明你们的结论。

在 2006 年 11 月 14 日的《纽约时报》上刊登的一篇文章报告了当前遵循的步骤以及航空公司寻求更好的解决方案的重要性。该文可以在如下网址找到:

http://travel2.nytimes.com/2006/11/14/business/14boarding.html

ICM 2007 C题:肾移植问题

移植网络:在医学和医疗技术方面,尽管有着持续且引人注目的进步,但移植的需求量大大超过了捐助者的数量。为了缓解这种情况,美国国会通过了《1984 年全国器官移植法》,并且建立了器官供应移植网络 (OPTN),以便匹配器官捐赠者和器官需要患者。即使所有这些技术和服务到位, 在美国仍有近 94000 需要移植的患者等待器官移植,并且这个数字预计很快将超过 100000。在一些大城市,患者无论是从死捐赠者或从活捐赠者获得移植器官,平均等待时间均超过三年。有效使用死捐赠者的器官的关键是各机构间的合作和整个网络的良好沟通。好消息是,该体系正在发挥作用并且每年越来越多的捐助者 (活着的和死去的) 被认定和使用,每个月都会出现创记录的移植数量。坏消息是,等待移植的患者名单越来越长。随着一些最需要移植的患者在等待中死去,一些人认为,当前地方和国家的移植体系正在走向灭亡。此外,基本的问题仍然存在:这个网络是否可以得到改善?我们如何改善一个像 OPTN 这样复杂的网络?针对不同国家的处理方法和政策,哪些是更值得被实施的? 未来的主流移植体系是什么?

任务 1:参考 OPTN 网站 (http://www.optn.org) 的政策和数据库 (http://www.optn.org/data

http://www.optn.org/latestData/viewDataeports.asp),建立关于美国移植网络的数学模型,模拟美国肾交换的过程,解决以下问题:

找出影响器官移植的主要问题;

如果可以提供更多的投资提高匹配效率,该如何使用它们?

如果此网络被分成一些小网络,例如州级规模的,该系统是否可以更有效的运作?

是否可以建立更有效的系统以延长与挽救更多的生命?如果可以,提出建议并且改动所建的模型以反映这些改进。

任务 2:基于其它国家的肾移植政策,修改上面模型,判断美国政策是否需要借鉴其它国家的政策来完善。通过以上的研究,以一名特聘专家的身份写一页报告给议会,阐述所存在的问题,以及可以进行的改进。

关注肾交换:肾脏过滤血液,排除垃圾,制造激素,产生尿液。肾衰竭可由许多不同的疾病和条件引起,患有晚期肾脏疾病的患者面临死亡、透析 (超过 60000 美元/年) 或者肾移植。一个移植器官可以来自同意死后捐献器官的捐赠者,或一个活体捐赠者。在美国大约有 68000 病人在等待死捐赠者的肾,而每年来自死捐赠者的肾移植只有 10000 个,来自活体 (通常是患者的亲戚) 的肾移植有 6000 个。因此等待合适肾脏的时间平均是三年。不幸的是,一些病人不能活足够长的时间来接收一个肾。

进行肾移植存在许多问题, 如接受者的身体和心理健康,接受者的财务状况 (移植的保险及术后的药物),捐赠者的可得到性 (是否有一个活体愿意提供一个肾)。移植肾必须满足兼容的 ABO 血型。为了确保移植后有 5 年的存活期,要求 6 个 HLA 的血液标记的不匹配数量最小化。每年,由于血型不相容或可怜的 HLA 匹配,至少 2000 对供体-受体移植失败。其他资料指出, 当前等候名单中,有超过 6000 愿意捐赠的人由于不匹配,而无法捐赠。这是捐赠人口上的一个重大损失,在制定新的政策和规程时值得考虑。

在任何给定的时间,有许多有着不同的血型和 HLA 标记的病人供体对 (可能多达 6000)。因为捐献者与原来接收者之间的不兼容性,打算捐赠给受体的移植是不可能的。与此同时,每天接收的死者肾脏,又随着分配与移植的进行而被用尽。为了解决如此的状况,起源于韩国的一个想法是一个肾交换系统,它可以通过活体和等待死者肾的队列进行。一种交换是成对肾脏捐赠,每个病人有一个愿意捐赠但不相容的捐赠者,但该捐赠者与另一病人兼容;每个捐赠者捐赠给另一病人,通常是在同一个医院同一天进行手术。另一个想法是列表成对捐赠,捐赠者代表一个特定的病人,捐赠给一个等待肾源的患者,作为回报,这个供体病人,因为捐赠了一个兼容的肾脏,获得更高的优先级;3 对,4 对或一个圈 (n 配对),每个捐赠者捐赠肾给在圈上的下一位病人。2006 年 11 月 20 日,在约翰霍普金斯医疗机构,12 个外科医生首次进行了 5 对肾交换。

任务 3:从医学与心理学的角度考虑,设计一种处理方法,使肾交换的数量最大且质量最好。判断采用什么措施使处理方法收益最大;用你的处理方案估计,每年将增加多少肾交换,从而将缩短多少等待队列的长度。

策略:病人可能面临痛苦的选择。例如,假设可以获得一个来自死者的几乎不兼容的 HLA 不匹配肾脏。他们应该是用它还是等待另一个死者或一个交换系统中的匹配更好的肾? 特别是,一个死者肾比一个活体肾有更短的半衰期。

任务 4:从风险、变化与概率方面考虑,为病人设计一种方案,选择接受提供的肾还是参与肾交换。

道德忧虑:从技术和道德两个不同的角度看,移植是一个有争议的问题,其涉及一个平衡:如何对个体、社会都最有利。标准已被仔细地制定,试图确保人们间的道德关怀:谁应该继续列队或谁应该脱离。关于继续或脱离列表的标准可以包含一个恶性疾病的诊断:艾滋病、严重的心血管疾病、有不符合要求的病史、或控制不佳的精神病。用于确定优先位置的标准包括:在等候名单上的时间、供体和受体之间的匹配质量、供体和受体之间的地理距离。由于近期政策变化,18 岁以下的儿童在候补名单上获得优先, 经常在被放置名单上数周或数月内,就可接受移植。器官分享联合网网站最近 (2006 年 10 月 27 日)的研究表明, 等待病人的年龄为:

18 岁以下:748

18 到 34 岁:8033

35 到 49 岁:20553

50 到 64 岁:28530

65 与超过 65 岁:10628

持续担忧的一个道德问题是如何确定特权,以及如何确定年轻人的优先权等级。从一个统计角度来看,基于生存时间的考虑, 年龄是最重要的因素,有些人认为年长的患者接受肾移植是挥霍资源。

政治因素:区域化的移植系统已经产生政治影响 (如:有人可能急需一个肾脏并且在队列中相当靠前,但他的或她的已故邻居的肾脏还可能去 500 公里外的一个大的城市中的一个酒精药物的经销商那里)。住在小社区医生, 在移植方面想有所作为,需要通过每年的最低数量的移植手术维持他们的技术水平。然而,这些小社区的肾脏通常被送到大城市的医院。因此,当地医生不能维持他们的进行移植手术的能力。这就提出了一个问题,难道移植只应在几个大中心,由几个专家和有经验的外科医生执行吗? 但这是一个公平的体系吗?这样会增加体系的效率还是减少体系的效率?

其他许多伦理和政治问题正在讨论。现有的一些政策可以在http://www.unos.org/policiesandbylaws/policies.asp?reaources=true找到。例如,最近在美国已经通过了禁止销售和强制捐献器官的法律,然而有许多机构倡导捐赠者为他们的器官索取经济赔偿。伊利诺斯州有一个新政策,假设每个人都愿意成为器官捐献者 (假定同意), 如果某些人不同意,他们必须选择退出。在器官移植上,美国卫生与人类服务咨询委员会有可能建议所有州采取假定同意器官捐赠的政策。国家新政策的最后制定取决于美国健康与人类服务部门的卫生资源和服务管理局。

任务 5:基于对各民族传统与宗教信仰的分析,讨论肾交换方案与个人意识之间的矛盾 (任务 3 与任务 4);为保证交换的公正与合理性,制定优先级的策略。由于肾源的匮乏,是否可以进行器官交易;就此敏感问题的研究,给美国健康资源与服务协会的主任写一页短文。

任务 6:潜在的捐赠者就捐赠问题有许多担心,例如接收者能成功移植的概率、捐赠者生存的概率、捐赠者将来能否健康生活的概率、将来健康风险 (所留下的肾失去功能) 的概率以及手术后的痛苦与恢复过程。

这些担心与他们的个人问题 (恐怖症、无理由的害怕、错误的信息、以前手术的经历、无私度、信任度) 将如何影响他们的决定?

如果是进入配对网络表,而不是交换给亲属或朋友,那么n-配对网络的大小对潜在的捐赠者有任何影响吗?

模型可以被改进并且分析这些问题中的一些吗?

最后,为了发展与征募更多的无私的捐赠者,提出建议。

解题方法和分析见《美国大学生数学建模竞赛题解析与研究 第1辑》