MCM 2013 A题:最佳巧克力蛋糕烤盘

当你使用一个矩形的烤盘烘烤食物时,热量会集中在烤盘的四个角落,于是角落处的食物就会被烤糊(烤盘边缘处也有类似情形,但程度轻一些)。当使用一个圆形烤盘时,热量会均匀地分布在整个边缘上,就不会再有边缘上烤糊的现象发生。然而,由于大多数烤箱内部是矩形的,如果使用圆形烤盘,就不能充分利用烤箱的内部空间了。

建立一个模型,来描述热量在不同形状的烤盘表面的分布。这些形状包括矩形、圆形以及两者之间的过渡形状。

假设,1、矩形烤箱的宽长比为 W/L。2、每个烤盘的面积为A。3、先考虑烤箱内有两个搁架且间隔均匀的情形。

建立一个模型用以选择满足下列条件的最佳烤盘的形状:(1)、使得烤箱中可以容纳的烤盘数量(N)最大。(2)、使得烤盘上的热量分布(H)最均匀。3、综合(1)、(2)两个条件,并且为(1)、(2)分别设置权值p和(1-p),寻求最优。然后描述结果随着 W/L 和 p 的值的变化是如何变化的。

除了撰写 MCM 论文之外,你还要为新的一期巧克力蛋糕美食杂志准备一个一至两页的广告,阐述你的设计和结果的亮点所在。

MCM 2013 B题:水,水,无处不在

淡水资源是世界上许多地方持续发展的限制因素。建立数学模型来确定一个有效的,可行的,低成本的2013年用水计划,来满足某国(从下方的列表中选择一个国家)未来(2025年)的用水需求,并确定最优的淡水分配计划。特别的,你的数学模型必须包括储存、运输、淡化和节水等环节。如果可能的话,用你的模型来讨论你的计划对经济,自然和环境的影响。提供一个非技术性的意见书给政府领导概述你的方法,以及方法的可行性和成本,以及它为什么是“最好的用水计划的选择”。

国家:美国、中国、俄罗斯、埃及或者沙特阿拉伯。

ICM 2013 C题:地球健康的网络建模

背景:全社会都在关注如何研究与应用模型来预测我们地球的生物和环境的健康状况。许多科学研究表明地球的环境和生物系统所面对的压力正在增加,但是能够验证这一观点的全局性模型却很少。联合国支持的千年生态系统评估综合报告指出:由于无节制的开采利用,地球上近三分之二的生命支持生态系统正在逐渐退化,这一系统包含干净的水,纯净的空气,和稳定的气候等。人类在很大程度上要对这种环境破坏负责。对粮食,淡水,燃料,以及木材的海量消耗将导致地球环境的剧烈变化,如森林遭砍伐,土地,空气和水遭污染。尽管已有大量关于局部栖息地和地域因素的环境健康研究工作,但是目前所有的模型还是不能明确告知决策者各地方的局部政策是如何影响地球的整体健康状况的。

许多模型忽视了复杂的整体因素,不能用于判定既定政策的长期影响。而科学家们意识到大量环境和生态系统中的复杂关系和交叉作用影响着地球的生物圈,现有的模型常常忽略了这些关系或者限制了系统的各要素之间的联系。系统的复杂性体现在多元互动,反馈回路,应急行为以及临界状态变化或者临界点的存在。最近由22个国际知名科学家在《自然》杂志上发表了题为《地球的生物圈正在接近状态的改变》的论文,该论文概述了许多需要有关科学模型解决的问题,并且阐述了预测地球健康系统的潜在状态变化的重要性。这篇文章在呼吁建立更好的预测模型时提出了两个具体的量化建模问题:

(1) 改进生态预测全局模型,应考虑地球上相互关联的系统间的复杂性,包括局部条件如何影响全局模型,以及全局系统对局部条件的影响。

(2) 确定那些可能会产生不良的整体状态变化的因素,并且展示如何利用有效的生态管理来阻止或者限制这些临界状态发生。

所导致的研究问题是我们是否可以利用局部的或者是区域性的地球健康状态以建立整体模型来预测潜在的状态改变,并且帮助决策者基于这些潜在的影响地球健康的因素制定一些有效的政策。虽然许多警告性的状况正在出现,但是没有人知道是否地球健康正在真正接近整体临界点,也没有人知道这种极端的状态是否是可以避免的。

《自然》杂志的这篇文章和许多其他的文章都指出地球的生态系统中有几个重要的因素正在起作用(例如:局部因素、整体影响、多维因素和相互关系、时空变化)。还有许多其他因素,诸如人口、资源和栖息地紧缩、栖息地变迁、能源消耗、气候变化、土地开采模式、污染、空气化学物、海洋化学物、生物多样性,以及诸如社会动荡和经济不稳定的政治模式,这些都可以包括在一个预测模型中。古生物学家已经研究并且模拟了过去几个地球环境大幅度状态改变时期的生态系统的行为和反应。因此,基于历史的定性和定量的信息可以为未来的预测模型提供背景。然而,应该指出的是,在当前的生物圈,人类的影响已经比过去有显著的增加。

要求:假设你们是ICM的成员,将要主办一个主题为“网络与地球的健康”的研讨会,你们的研究组长要求你们在研讨会以前预先进行建模和分析。他要求你们小组做如下事情:

要求1:对于地球的健康状况的某一影响方面(你们自己选定量化指标),建立一个动态的全球网络模型,并通过选定这种情况下的局部要素(即网络节点)以及要素间的连接(即网络链路)来跟踪它们间的关系和属性效应。由于这些效应的动态本质是很重要的,这个网络模型必须包括一个动态的时间元素来使模型可以预测这个健康状况的影响因素的未来状态。例如,你们定义的节点可以是国家,洲,海洋,栖息地或这些元素的任意组合,或者是能够共同构成一个整体模型的其他元素。你们定义的链路可以表示随着时间变化的节点或环境的影响,或各种物理因素(如污染)的流动与演化。你们所选的健康影响量化指标可以是地球状况的任意一方面,包括人口统计学方面的,生物学方面的,环境的,社会的,政治的,物理的或化学方面的状况。请确保对你们模型中的所有元素都进行了定义,并解释你们关于网络方式,节点实体和链路属性的模型决策的科学依据。在设置所有参数后,如果有充足的样本数据,请用一种方法来解释如何检验你们的模型。哪些数据能够用来证实或验证你们的模型?(注意:如果你们没有必要的数据来确定参数或进行验证,也不要抛弃你们的模型。在这种情形下,你们的组长认为创造性的想法和理论模型与经过数据验证的模型是同等重要的。)在你们的模型中一定要考虑人类活动因素,并解释人类行为和政府政策在哪些地方影响你们模型的结果。

要求2:基于你们的模型,给出预测未来的地球健康状况的方法。你们首先要估计参数,通常情况下,这些参数值是通过实际数据计算而得。(请记住:这只是测试和理解你们模型的元素,不是用它来预测和决策。)你们的模型将会受哪些因素影响?你们的模型是否能预测地球健康情况的状态变化或临界点?是否能通过改变局部条件获得对全局结果带来的影响进行预警?是否能在重要政策上对决策者提供决策参考资料?在你们所选的地球健康影响指标和网络属性中考虑了人类因素吗?

要求3:网络模型的一个强有力优势在于它具有分析网络结构的能力。在你们的模型中,网络属性能帮助识别关键节点或节点间的关系吗?如果能,对此进行分析。你们的模型对于链路的缺失与节点间关系的改变的敏感性如何?你们的模型使用反馈回路或考虑了不确定因素吗?数据收集方面有哪些问题?你们的模型能对各种政府政策作出反应并因此有助于政府制定计划吗?

要求4:写一个20页(不包括摘要)的报告来解释你们的模型和它的潜力。一定要详细说明你们模型的优缺点。在将要到来的研讨会上,你们的组长将会以你们的报告作为一个主要议题,如果你们的模型是合理的并且对地球的健康状况建模方面有深刻的见解,组长会请你们在研讨会上作报告。

祝你们的网络建模工作顺利!

可能会用到的参考文献如下:

  • Anthony D. Barnosky,Elizabeth A. Hadly,Jordi Bascompte, Eric L. Berlow,James H. Brown,Mikael Fortelius,Wayne M. Getz,John Harte,Alan Hastings,Pablo A. Marquet,Neo D. Martinez,Arne Mooers,Peter Roopnarine,Geerat Vermeij, John W. Williams,Rosemary Gillespie,Justin Kitzes,Charles Marshall,Nicholas Matzke,David P. Mindell,Eloy Revilla,Adam B. Smith. “Approaching a state shift in Earth’s biosphere, ”. Nature,2012; 486 (7401): 52 DOI: 10. 1038/nature11018
  • Donella Meadows,Jorgen Randers,and Dennis Meadows. Limits to Growth: The 30-year update,2004
  • Robert Watson and A. Hamid Zakri. UN Millennium Ecosystem Assessment Synthesis Report,United Nations Report,2005.
  • University of California at Berkeley. “Evidence of impending tipping point for Earth. ” Science Daily,6 Jun. 2012. Web. 22 Oct. 2012.